2020年南京工业大学专转本高等数学考试大纲

　　一、答题方式

　　答题方式为闭卷，笔试

　　二、试卷题型结构

　　试卷题型结构为：单选题、填空题、解答题、证明题、综合题

　　三、考试大纲

　　(一)函数、极限、连续与间断

　　考试内容

　　函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。

　　数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。

　　极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

　　考试要求

　　1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系。

　　2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

　　4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

　　6、掌握极限的性质及四则运算法则。

　　7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

　　9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。

　　10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

　　(二)导数计算及应用

　　考试内容

　　导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数隐函数以及参数方程所确定的函数的导数、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达(L’Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数的最大值和最小值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘。

　　考试要求

　　1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

　　2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式;了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

　　3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

　　4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

　　5、理解并会使用罗尔(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理。

　　6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

　　7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

　　8、会用导数判断函数图形的凹凸性、会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形。

　　(三)定积分

　　考试内容

　　基本积分公式、定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、积分上限函数及其导数、牛顿一莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式、定积分的换元积分法与分部积分法、有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的定积分、定积分的应用。

　　考试要求

　　1、理解定积分的概念，几何意义及物理意义，函数可积的必要条件与充分条件定积分的基本性质。

　　2、掌握变上限的定积分及其求导定理(微积分基本定理).原函数存在定理，牛顿--莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式。

　　3、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

　　4、会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的定积分。

　　5、掌握定积分的应用：定积分应用的微元分析法，几何应用(平面图形的面积，利用横断面计算立体的体积)与物理应用举例(变力作功，液体的静压力，直杆的引力等).平面曲线的弧长与计算，弧长微分公式。

　　6、掌握两种广义积分的概念及其计算法。

　　(四)不定积分

　　考试内容

　　原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、不定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的不定积分。

　　考试要求

　　1、理解原函数的概念，理解不定积分的概念和性质。

　　2、掌握不定积分的基本积分公式。

　　3、掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。

　　4、会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。

　　(五)级数

　　考试内容

　　级数的概念、级数发散和收敛的定义、级数收敛的性质、正项级数敛散性判别法、一般项级数散敛法、幂级数的定义和性质。

　　考试要求

　　1、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

　　2、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

　　3、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)。

　　4、会将简单函数展开为幂级数。

　　5、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。

　　6、理解幂级数的收敛半径的概念、收敛区间及收敛域的概念。

　　7、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数与p级数的收敛与发散的条件，正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法。

　　8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

　　(六)多元函数微积分

　　考试内容

　　多元函数的概念，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数与隐函数(仅限一个方程的情形)的一阶偏导数、二阶偏导数，方向导数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值，最小值及其简单应用，二重积分的概念，性质，计算和应用。

　　考试要求

　　1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

　　2、了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

　　3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

　　4、理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。

　　5、掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

　　6、会求隐函数(仅限一个方程的情形)的一阶偏导数、二阶偏导数。

　　7、掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

　　8、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

　　9、理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

　　10、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。

　　11、会用二重积分求一些几何量(平面图形的面积、立体的体积、曲面的面积)。

　　(七)矢量与空间解析几何

　　考试内容

　　向量的线性运算，向量的数量积和向量积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件，球面、柱面、旋转曲面等常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

　　考试要求

　　1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

　　2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两个向量垂直、平行的条件。

　　3、理解单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

　　4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

　　5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。

　　6、会求点到直线以及点到平面的距离。

　　7、了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

　　8、掌握常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

　　9、掌握空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

　　(八)常微分方程

　　考试内容

　　常微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，贝努利方程，二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。

　　考试要求

　　1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

　　2、掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

　　3、会解齐次微分方程、贝努利方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

　　4、理解线性微分方程解的性质及解的结构。

　　5、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

　　6、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。